dyanos님의 이글루

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Covariant Vector및 Contravariant Vector의 차이는 Coordinate Transformation하는 대상이 Numerator(Contravariant)이냐 Denominator(Covariant)이다.

간단하게 말해서 (시간을 좌표라고 생각하지 않는 다는 가정하에) Contravariant는 Velocity를 생각하면 되고,
Covariant는 1/Velocity이나 단위 길이당(meter) 온도의 변화량(gradiant)를 생각하면 된다.

velocity를 v, 단위 길이당 온도의 변화량을 w라고 하고, 이 둘을 inner product하면,
시간당 온도변화량이 나오는데, 이때 나온 것을 f라고 하면, 이 f는 scalar값을 가지며, coordinate transformation에 invariant하다.
이것을 scale invariance라고 부른다고 한다.

간단하게 말해서 Covariant는

Coordinate Transformation에 Independent한 Vector(or Tensor)

를 말하고, Contravariant는

Coordinate Transformation에 Dependent한 Vector(or Tensor)

를 의미하는 듯 하다.

 예를 들어, 자동차를 타고 갈때, 특정 방향으로 몇 km/s의 속력으로 달린다고 한다. 이것을 통칭해서 나타낼때 보통 속도라는 용어를 쓰고, 2차원의 좌표계에서 이 속도를 나타내면,

(속도의 x축 성분, 속도의 y축 성분)

라는 식으로 표현한다. 여기서 속력의 단위인 km/s를 m/s로 고치면 어떻게 될까?
 위의 좌표 표현의 각 성분의 값에 1000을 곱한 것으로 변한다. 이것은 이전까지 좌표를 km/s로 표현하던 것이 m/s로의 좌표 변환이 일어난 것이다. 그럼 위의 좌표를 다시 표현하면

(속도의 x축 성분 * 1000 , 속도의 y축 성분 * 1000)

이 된다. 좌표 변환으로 좌표가 바뀌었다. 이것이 contravariant vector라는 것인 듯 하다.

 그럼 여기서 바뀌지 않는 것은 무엇일까를 생각해보자. 무엇을까? 예를 들어보자. 자동차는 일정시간에 일정거리만큼 간다는 비율을 수식으로 표현한 것이 속력이다. 여기서 답은 나왔다. 거리당 시간은 바뀌지 않는다. 좌표변환을 해도 말이다. 이것을 covariant라고 부르는 것 같다.

 그럼 분명히 하기 위해서 수치로 나타내는 예를 들어보자.
 어느 자동차가 10km/s로 움직인다고 가정하자. 여기서 km를 m로 바꾸는 좌표변환을 해보자. 그럼 이 10km/s라는 값은 10000m/s로 바뀐다. 
 10km/s는 1초당 10km를 간다는 뜻이다.(정말 빠르다--;;; 무슨 차가 이렇게 빠른가) 이건 다시 말해서 10km를 1초에 간다는 말이다. 좌표변환을 해도 마찬가지다. 10000m를 1초에 간다는 이야기다. 1초에 가는 거리는 변하지 않는다.(왜냐구? 10000m=10km이다)

PS. 여기서 질문 : km를 m로 변경하는 좌표변환(정말 좌표변환인가?)를 했을때 1000배 뻥튀기 된다. 근데 의미상으로는 둘은 같은 양이다. 즉 같은 크기를 같는다. 여기서  contravariant는 좌표변환에 빈감하게 반응하는 vector또는 tensor라는 의미라고 해석한다면 일견 맞아보인다.  하지만 크기가 같다.^^;;; 크기가 같다면 좌표를 변환해도 속성으론 차이가 없어야 한다. ( <- 물리학적으로 당연한게, 좌표만 바뀐거지 물리적인 성질이 바뀐건 아니기 때문이다. ㄷㄷ)
그럼 단지 좌표변환을 했을 때 tensor가 바뀌면 contravariant라고 부르고, 그렇지 않다면(위의 온도의 변환의 예처럼) covariant라고 부르는 것인가?(또 좌표변환하면 tensor가 바뀐다라고 부를 수 있을까?)
아님 내가 멀 잘몰 알고 있는 것인가?

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